排列组合的基本计算公式_数学公式

  今天讲一下如何理解和记忆排列组合的基本计算公式,然后再解释一下为什么推荐用排列组合。

  排列的定义:从n个不同元素中任取m个,按一定顺序排成一列,所有排列的个数记作:A(n,m)

  组合的定义:从n个不同元素中任取m个的组合数(顺序无关)记作:C(n,m)

  A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

  C(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)÷(m!)=A(n,m)÷A(m,m)

  首先讲一下如何理解记忆这两个计算公式,如果学过定义新运算,应该很容易理解。

  排列:从n个不同元素中任取m个,按一定顺序排成一列

  根据乘法原理,第一个位置有n种选法,第二个位置有n-1种选法,…,第m个位置有n-m+1种选法。

  所以排列数A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

  例题:利用数字1~9共可组成多少个无重复数字的三位数。

  用排列来算就是A(9,3)=9×8×7=504

  乘法原理:百位9种选法,十位8种选法,个位7种选法。所以9×8×7=504

  组合:从n个不同元素中任取m个,组成一组(顺序无关)

  根据排列或乘法原理,可知有顺序的有A(n,m)种。m个元素有A(m,m)种不同排法,算组合时这些只算一组。所以去掉重复

  C(n,m)=A(n,m)÷A(m,m)

  例题:10支队伍进行单循环比赛(每两队赛一场),共进行多少场比赛如果考虑顺序,从10支队里选2支共有A(10,2)种方法,或乘法原理10×9。但是其中先选甲后选乙,与先选乙后选甲是同一场比赛,所以去掉重复(2支的排列数)。

  C(10,2)=A(10,2)÷A(2,2)

  虽然看起来用乘法原理也一样可以算出来,但是做一些比较复杂的题时就能看出排列组合的威力了。

  例题:尚品中学的4名优秀学生全部保送到3校(育才,实验,二中),每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?

  利用排列组合,四名学生分成3组有C(4,2)种方法,三组学生分配三所学校有A(3,3)种方法,所以结果应该是C(4,2)×A(3,3)。接下来已经与题目无关,只是单纯的计算,和列方程一样。它有什么好处呢,如果说不会算三组学生分配三所学校,那么这道题我们就可以放弃了,而不必先花时间把四人分3组的数算出来。

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